Barisan aritmatika adalah suatu deret bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan selisih tertentu yang konstan. Sedangkan deret aritmatika merupakan hasil penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika. Pada artikel ini, akan dibahas mengenai pengertian, rumus, serta contoh soal untuk memahami konsep barisan dan deret aritmatika.
Pengertian Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah sebuah susunan bilangan yang setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya dengan selisih tertentu yang konstan. Selisih ini biasa disebut dengan beda atau diferens. Rumus umum dari barisan aritmatika adalah:
\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
Dimana \( a_n \) adalah suku ke-n dalam barisan, \( a_1 \) adalah suku pertama dalam barisan, \( n \) adalah urutan suku dalam barisan, dan \( d \) adalah beda antara dua suku berturut-turut.
Rumus Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan hasil penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika. Untuk menghitung jumlah deret aritmatika, digunakan rumus:
\[ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \]
Dimana \( S_n \) adalah jumlah \( n \) suku pertama dalam deret aritmatika, \( a_1 \) adalah suku pertama, \( a_n \) adalah suku ke-n, dan \( n \) adalah jumlah suku dalam deret.
Contoh Soal Barisan Aritmatika
- Berapakah suku ke-5 dari barisan aritmatika dengan suku pertama 3 dan beda 4?
- Berapakah jumlah 6 suku pertama dari deret aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3?
Jawab:
Untuk mencari suku ke-5, kita gunakan rumus \( a_n = a_1 + (n-1)d \)
Substitusi nilai \( a_1 = 3 \), \( d = 4 \), dan \( n = 5 \) ke dalam rumus tersebut:
\[ a_5 = 3 + (5-1)4 \] \[ a_5 = 3 + 16 \] \[ a_5 = 19 \]
Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 19.
Jawab:
Untuk mencari jumlah 6 suku pertama, kita gunakan rumus \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \)
Substitusi nilai \( a_1 = 2 \), \( d = 3 \), dan \( n = 6 \) ke dalam rumus tersebut:
\[ S_6 = \frac{6}{2}(2 + a_6) \] \[ S_6 = 3(2 + a_6) \] \[ S_6 = 6 + 3a_6 \]
Diketahui juga bahwa \( a_6 = a_1 + 5d \) karena suku ke-6 berada pada urutan ke-6, maka substitusi nilai ke dalam rumus suku pertama:
\[ a_6 = 2 + (6-1)3 \] \[ a_6 = 2 + 15 \] \[ a_6 = 17 \]
Substitusi nilai \( a_6 = 17 \) ke dalam rumus jumlah 6 suku:
\[ S_6 = 6 + 3(17) \] \[ S_6 = 6 + 51 \] \[ S_6 = 57 \]
Jadi, jumlah 6 suku pertama dari deret aritmatika tersebut adalah 57.
Penutup
Demikianlah pembahasan mengenai pengertian barisan dan deret aritmatika beserta contoh soal yang dapat membantu memahami konsep tersebut lebih baik. Dengan memahami rumus dan cara menghitungnya, diharapkan pembaca dapat lebih mudah dalam menyelesaikan permasalahan terkait barisan dan deret aritmatika. Semoga artikel ini bermanfaat!
