Barisan dan deret geometri merupakan salah satu konsep dasar dalam matematika yang sering ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Kedua konsep ini memiliki perbedaan namun saling terkait dalam matematika. Dalam artikel ini, kita akan membahas secara lengkap mengenai pengertian, sifat-sifat, rumus, serta contoh soal dari barisan dan deret geometri.
Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri merupakan suatu barisan bilangan dimana setiap suku dari barisan tersebut diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan yang tetap disebut dengan rasio (r). Contoh barisan geometri adalah 2, 4, 8, 16, … dimana rasionya adalah 2.
Untuk mendefinisikan suku ke-n dari barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus umum sebagai berikut:
Un = U1 * r^(n-1)
dimana Un adalah suku ke-n, U1 adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah urutan suku.
Sifat-sifat Barisan Geometri
- Setiap suku dari barisan geometri dapat ditemukan dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan rasio.
- Jika rasio (r) lebih dari 1, maka barisan tersebut disebut sebagai barisan geometri bertumbuh. Sedangkan jika rasio (r) kurang dari 1, maka barisan tersebut disebut sebagai barisan geometri menyusut.
- Jumlah suku-suku barisan geometri dengan jumlah suku tak hingga adalah U1 / (1 – r) jika r kurang dari 1, dan tak terhingga jika rasio lebih dari 1.
Rumus Jumlah Deret Geometri
Deret geometri merupakan penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Untuk menghitung jumlah deret geometri hingga suku ke-n, kita dapat menggunakan rumus sebagai berikut:
Sn = U1 * (1 – r^n) / (1 – r)
dimana Sn adalah jumlah deret hingga suku ke-n, U1 adalah suku pertama, r adalah rasio, dan n adalah urutan suku.
Sifat-sifat Deret Geometri- Jumlah deret geometri hingga suku ke-n dapat ditemukan dengan rumus Sn = U1 * (1 – r^n) / (1 – r).
- Jika n menuju tak hingga, maka jumlah deret geometri akan menuju tak hingga jika rasio (r) lebih dari 1. Sedangkan jika rasio (r) kurang dari 1, maka jumlah deret geometri memiliki batas yaitu U1 / (1 – r).
Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri
Berikut adalah contoh soal mengenai barisan dan deret geometri:
Contoh Soal 1: Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri dengan suku pertama 3 dan rasio 2.
Jawab: Diketahui U1 = 3, r = 2, dan n = 5. Kita gunakan rumus Un = U1 * r^(n-1).
Un = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48
Jadi, suku ke-5 dari barisan geometri tersebut adalah 48.
Contoh Soal 2: Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama 4 dan rasio 3.
Jawab: Diketahui U1 = 4, r = 3, dan n = 10. Kita gunakan rumus Sn = U1 * (1 – r^n) / (1 – r).
Sn = 4 * (1 – 3^10) / (1 – 3) = 4 * (1 – 59049) / -2 = 4 * (-59048) / -2 = 118096
Jadi, jumlah 10 suku pertama dari deret geometri tersebut adalah 118096.
Kesimpulan
Dari pembahasan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa barisan dan deret geometri adalah konsep matematika yang penting dalam kehidupan sehari-hari. Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan dimana setiap suku diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan rasio tertentu, sedangkan deret geometri merupakan penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.
Dengan memahami rumus-rumus dan sifat-sifat dari barisan dan deret geometri, kita dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai permasalahan matematika yang melibatkan konsep ini. Semakin sering berlatih, maka kemampuan dalam memahami dan menyelesaikan soal-soal terkait barisan dan deret geometri juga akan semakin meningkat.
